Podstrona: Materialy ogólnodostępne / Wizytówka pracownika PRz

Zadania na 6.04.

Krysicki , Włodarski, t.1.

Rozdział  16, zadania 34, 44, 45, 56, 57, 67, 70, 76, 85. Ten materiał był już przerobiony,  podaję te zadania dla powtórzenia, czy już potrafimy je rozwiązywać. 

Rozdział  17, zadania 20, 22, 23, 26, 31, 32, 54, 60, 65, 66, 70, 78, 91, 98. To  jest nowy materiał z ostatniego wykładu.

Zadania z całek trygonometrycznych.

Rozdział 18, zadania 34, 38, 44, 45,, 52, 59, 60, 62, 64.

Zestawy w pliku.

Dodaję kilka zadań.

Zadania można wybrać z Krysickiego i Włodarskiego, tom 2, zadania 1.111 - 1.139.

Na stronie http://prac.im.pwr.wroc.pl/~kajetano/AM2/fun2var/fun2var-6.html

z Politechniki Wrocławskiej jest bardzo przejrzyście przedstawiony materiał wraz z ilustracjami, przykładami zadań i rozwiązań. Aby zobaczyć powierzchnie ze zbioru zadań, warto posłużyć się stroną wolframalpha i wpisać po prostu wzór funkcji. Potęgi ą wprowadzane przez ^, np "iks kwadrat" to x^2.

Podaję pytania (uzupełnione w sobotę). Uściśliłem pytanie 12, gdyż mogło brzmieć nielogicznie.

1. Definicja pary i iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Czym jest kwadrat kartezjański zbioru pustego.

2. Funkcja w języku relacji. czy istnieje funkcja zbioru pustego w pusty?

3. Własności klas równoważności. 

4. Jaką relacją jest podzielność liczb całkowitych dodatnich?

5. Definicja funkcji odwrotnej.

6. Definicja podgrupy i jakiś przykład nietrywialny.

7. Definicja ciała w języku pierścieni.

8. Co jest zbiór elementów algebraicznych i jaką ma strukturę.

9. Co to są dzielniki zera. Podać przykład.(macierze).

10. Jakie struktury algebraiczne występują w zbiorach macierzy?

11.  Mamy już zbiór wektorów (grupę abelową z dodawaniem) V i działanie elementami ciała K na elementy V o wartościach w V. Uzupełnić definicje przestrzeni wektorowej.

12.  Kiedy  zbiór  wektorów (może być nawet nieskończony) jest liniowo niezależny (dokładna definicja). Czy gdy zbiór zawiera wektor zerowy, to może być liniowo niezależny? Dlaczego?

13. Definicja zbioru skończonego, nieskończonego, przeliczalnego, nieprzeliczalnego.

14. Niech A będzie macierzą odwzorowania f liniowego z V do W, a B - macierzą odwzorowania liniowego g z W do Z. Jakim odwzorowaniom odpowiadają macierze: BA, A transponowana, macierz odwrotna do A (jeśli istnieje).

15. Podać definicję macierzy odwzorowania liniowego przy ustalonych bazach.

16. Definicja bazy przestrzeni wektorowej.

17. Granica ciągu w przestrzeni metrycznej i w R. Granice niewłaściwe ciągów liczb rzeczywistych.

18. Pojęcie podciągu. (można podać 2 alternatywne definicje). Co wynika z faktu, że podciągi a(2n) i a(2n+1) ciągu a(n) mają::

a) tę samą granicę,

b) różne granice.

19.. Związki między ciągiem zbieżnym a ciągiem Cauchy'ego. Co wynika z faktu, że podciąg ciągu Cauchy'ego ma granicę?

20. Punkt skupienia zbioru. Przykłady nietrywialne..

21.  Definicja granicy funkcji między przestrzeniami metrycznymi - Cauchy'ego i Heinego.

22.  Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa  i przykład ciągu nieograniczonego bez podciągu zbieżnego.

23. Przestrzeń metryczna zupełna - definicja, przykład i wybrane twierdzenie dotyczące zupełności.

24. Zestawienie pojęć homomorfizmu grup i homomorfizmu przestrzeni wektorowych (czyli odwzorowania liniowego). 

Proszę wykonać trochę samodzielnej pracy (ewentualne niejasności czy wątpliwości wyjaśnimy na ćwiczeniach). 

Proszę dokładnie przestudiować przykład 1.110 ze zbioru zadań i na tej podstawie rozwiązać jedno z zadań (albo więcej)  1.141, 1.146 lub 1.150.

Ponadto proszę przygotować jeden z przykładów 1.152, 1.153 lub 1.154.  Podobne zadanie rozwiązywaliśmy na zajęciach, ale nie  przeprowadziliśmy badania funkcji na brzegu obszaru.

Proszę rozwiązać zadania 1.115, 1.119 i 1.125 z ekstremów. Na kolokwium będą również zadania takiego typu, jak 1.92-1.94, proszę również przeliczyć przynajmniej 2 z tych trzech. Dla chętnych zadania 1.82-1.85 na podstawie ostatniego wykładu lub innych źródeł.

Proponuję przestudiować zadania z równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych i równań jednorodnych, które są rozwiązane w zbiorze zadań. Zostało tez jedno równanie niedokończone (jednorodne) z ćwiczeń.

Oczywiście można rozwiązać kilka wybranych zadań, które nie są rozwiązane w zbiorze zadań. 

Dołączam przykładowe zestawy. W każdym punkcie będzie po jednym zadaniu. 

Zaliczenie brakujących efektów będzie, zgodnie z ustaleniami, we wtorek 17.07, godz. 9:30, sala L 317.

Zadania są z rozdziału 16 Krysickiego & Włodarskiego:

28, 29, 36 i 41 (postać kanoniczna i wzór z logarytmem z ćwiczeń lub wykładu - chodzi o sytuację niewygodnej delty),

45, 47, 57, 61, 67, 68 (rozkład minownika na czynniki np. metodą grupowania wyrazów lub z tw. Bezout), 69 (wzór rekurencyjny z wykładu w semestrze I), 70 i 73 (najpierw trzeba wykonać dzielenie wielomianów), 77, 84* (trzeba rozłożyć mianownik na iloczyn dwóch trójminów kwadratowych). Zadania 89 i 91 zrobimy na ćwiczeniach, ale jak ktoś chce, to można zobaczyć, jak takie zadania sa rozwiązywane w zbiorze zadań - np.  zadanie 16.23, rozwiązane szczegółowo w zbiorze.

Podaję typowe zadania na kolokwium. Będą 3 całki łatwe, 3 trudniejsze oraz 2 zadania z zastosowań geometrycznych.

Termin 8.05. Zajęcia sprzed Świąt zostały przełożone na 15  maja i będą wtedy 4 godziny ćwiczeń - przerobimy funkcje wielu zmiennych.

Przesyłam zestaw z rozwiązaniami. Mała uwaga - w zadaniu 3 a) jest jeszcze rozwiązanie y=0, gdyż było dzielenie przez y i trzeba było taką mozliwość uwzględnić.